题目内容

8.已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的最大值为$\frac{1}{3}$,且最小正周期为$\frac{π}{2}$.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f($\frac{θ}{4}$)=-$\frac{1}{5}$,θ∈(π,$\frac{3π}{2}$),求cos(θ+$\frac{π}{4}$)的值.

分析 (1)由函数的最值求出A,由周期求出ω,从而求得f(x)的解析式.
(2)由条件求得sinθ的值,再利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值,利用两角和的余弦公式求得cos(θ+$\frac{π}{4}$)的值.

解答 解:(1)∵函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的最大值为$\frac{1}{3}$,可得A=$\frac{1}{3}$,
∵f(x)的最小正周期为$\frac{π}{2}$=$\frac{2π}{ω}$,求得ω=4,∴f(x)=$\frac{1}{3}$sin4x.
(2)∵f($\frac{θ}{4}$)=$\frac{1}{3}$sinθ=-$\frac{1}{5}$,∴sinθ=-$\frac{3}{5}$.
结合θ∈(π,$\frac{3π}{2}$),∴cosθ=-$\frac{4}{5}$,
∴cos(θ+$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•(-$\frac{4}{5}$)-$\frac{\sqrt{2}}{2}$(-$\frac{3}{5}$)=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$.

点评 本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的最值求出A,由周期求出ω.还考查了同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式,属于基础题.

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