Question

17．已知正项数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$，则a₁₂=$\frac{1}{6}$．．

Answer 1

分析 由a₁=2，a₂=1，且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$，变形$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，（n≥2）．利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a₂=1，且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，（n≥2）．
∴正项数列{a_n}是等差数列，
首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n}$．
∴a₁₂=$\frac{2}{12}$=$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．