Question

（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知圆和圆.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）在平面内是否存在一点，使得过点有无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长的倍与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
 

Answer 1

(1)若直线的斜率不存在，则过点的直线为，此时圆心到直线的距离为，被圆截得的弦长为，符合题意，所以直线为所求.                                            …………2分
若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离.       …………3分
又直线被圆截得的弦长为，圆的半径为4，所以圆心到直线的距离应为，即有
，解得：.                             …………4分
因此，所求直线的方程为或，
即或.                             …………5分
(2) 设点坐标为，直线的斜率为(不妨设，则的方程分别为：
即，
即.               …………6分
因为直线被圆截得的弦长的倍与直线被圆截得的弦长相等，又已知圆的半径是圆的半径的倍.由垂径定理得：圆心到直线的距离的倍与直线的距离相等.w   .m                            …………7分
故有，               …………10分
化简得：，
即有或.
…………11分
由于关于的方程有无穷多解，所以有
或，                        …………12分
解之得：
或，                                    …………13分
所以所有满足条件的点坐标为或.          …………14分

略