Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，能否在椭圆上找到一点M，使点M到左准线的距离是它到两个焦点距离的比例中项？并证明你的结论．

Answer 1

分析 假设在椭圆上找到一点M（m，n），使点M到左准线的距离是它到两个焦点距离的比例中项．求得椭圆的焦点和左准线方程，由点到直线的距离和焦半径公式可得（m+4）²=（2+$\frac{1}{2}$m）（2-$\frac{1}{2}$m），解方程可得m，再由椭圆的范围即可判断．

解答 解：假设在椭圆上找到一点M（m，n），
使点M到左准线的距离是它到两个焦点距离的比例中项．
椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，e=$\frac{1}{2}$，
设左、右焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），左准线为x=-4，
点M到左准线的距离为d=m+4，|MF₁|=2+$\frac{1}{2}$m，|MF₂|=2-$\frac{1}{2}$m，
由假设可得d²=|MF₁|•|MF₂|，
即（m+4）²=（2+$\frac{1}{2}$m）（2-$\frac{1}{2}$m），
即为5m²+32m+48=0，
解得m=-4或m=-$\frac{12}{5}$．
由椭圆的性质可得|m|≤2，
则m=-4或m=-$\frac{12}{5}$不成立．
故不能在椭圆上找到一点M，
使点M到左准线的距离是它到两个焦点距离的比例中项．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查存在性问题的解法，同时考查运算求解能力，属于中档题．