题目内容
19．在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，先用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{DB}$，并回答：当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？分析 由平行四边形法则及三角形法则可求$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{DB}$，由矩形、菱形、正方形的定义可得$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$需要满足的条件．
解答 
解：由平面向量的平行四边形法则得，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
由减法的三角形法则得，
$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
当$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0时，四边形ABCD为矩形，
当|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|时，四边形ABCD为菱形，
当$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|时，四边形ABCD为正方形．
点评 本题考查了向量的线性运算及数量积运算及应用，作图辅助更直观．
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如图所示，在四边形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，对角线AC与BD交于点O，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，用$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$．