Question

4．某个小区为了制订自行车棚的整修方案，进行了一次以家庭为单位的自行车数量调查．按照家庭成员的人数采用分层抽样的方法，一部分数据如表所示，其中m=2n．通过调查统计了每个家庭的自行车数量，将结果绘制成条形图，如图所示．

家庭人数	1	2	3	4	5
家庭数量	6	m	72		18
抽样数量		4	n	10

（1）计算这个小区的家庭总数和样本容量；
（2）根据图中所显示的统计结果，估计这个小区共有多少辆自行车．
（3）从样本中任取两个家庭，设这两个家庭的自行车数量分别为a和b，记不等式x²-ax+b≤0的解集中整数的个数为η，求η的分布列．

Answer 1

分析 （1）根据m=2n，由分层抽样的性质，得：$\frac{2n}{4}=\frac{72}{n}$，由此能求出这个小区的家庭总数和样本容量．
（2）由条形图得到抽到的3有自行车的数量为：11+15×2+4×3=53辆，由此能估计这个小区共有多少辆自行车．
（3）由已知得a，b的可能取值分别为1，2，3，基本事件总数n=3×3=9，利用列举法能求出不等式x²-ax+b≤0的解集中整数的个数η的分布列．

解答 解：（1）∵m=2n，∴由分层抽样的性质，得：$\frac{2n}{4}=\frac{72}{n}$，解得n=12，
∴这个小区的家庭总数为：6+12×2+72+$10×\frac{72}{12}$+18=180，
样本容量为：6×$\frac{4}{12}$+12+10+18×$\frac{4}{12}$=30．
（2）由条形图得到：
抽取的30户中，11户都只有1辆自行车，15户都只有2辆自行车，4户都只有3辆自行车，
∴抽到的3有自行车的数量为：11+15×2+4×3=53辆，
∴估计这个小区共有53×$\frac{180}{30}$=318辆自行车．
（3）由已知得a，b的可能取值分别为1，2，3，基本事件总数n=3×3=9，
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），
当（a，b）为（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，3）时，△＜0，不等式x²-ax+b≤0的解集为∅，η=0，
当（a，b）为（2，1）时，x²-2x+1≤0的解集为{1}，η=1，
当（a，b）为（3，1）时，x²-3x+1≤0的解集为{x|$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$≤x≤\frac{3+\sqrt{5}}{2}$}，η=2，
当（a，b）为（3，2）时，x²-3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤2}，η=2，
∴P（η=0）=$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，
P（η=1）=$\frac{1}{9}$，
P（η=2）=$\frac{2}{9}$，
∴η的分布列为：

η	0	1	2
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$

点评 本题考查分层抽样、条形图、统计表的应用，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．