题目内容
【题目】设数列的前n项和为
,对一切
,点
都在函数
的图像上.
(1)证明:当时,
;
(2)求数列的通项公式;
(3)设为数列
的前n项的积,若不等式
对一切
成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析; (2) (3)
【解析】
(1)根据点在函数图像上,代入点坐标,化简后结合即可证明.
(2)根据(1)所得递推公式,递推作差后可得奇偶项分别为等差数列,根据和公差即可求得通项公式.
(3)根据为数列
,代入
的通项公式求得
的表达式,构造函数
;代入
的通项公式求得函数
,根据恒成立求得
即可.通过
的单调性求得
,代入解不等即可得实数a的取值范围.
(1)证明: 因为对一切,点
都在函数
的图像上
所以,化简可得
当时,
两式相减可得
即(
)
原式得证.
(2)由(1)可知
所以
两式相减,可得
所以数列的奇数项公差为4的等差数列,偶数项公差为4的等差数列.
由(1)可知
则当时,
求得
则当时,
,即
求得
所以当为奇数时,
所以当为偶数时,
综上可知数列的通项公式为
(3)因为
所以
所以
又因为
所以对一切
成立
即对一切
成立
只需满足即可
令
则
所以
所以
即为单调递减数列
所以
所以即可,化简可得
解不等式可得,或
故实数a的取值范围为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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