Question

【题目】已知函数给出下列4个命题：①当且仅当时，是偶函数；②函数一定存在零点；③函数在区间上单调递减；④当时，函数的最小值为，那么所有真命题的序号是_______.

Answer 1

【答案】①④

【解析】

（1）当是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项；
（2）二次函数的零点是函数与轴交点的横坐标，举个反例即可；
（3）分段函数单调性要根据每段函数解析式来求，举个反例即可；
（4）当时，函数恒成立，可求得此时函数的最小值.

解：由于函数，
①当时，，则是偶函数；当是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项，则，即,故①为真命题;
②∵，当时，，函数恒成立，此时函数不存在零点，∴②是假命题.
③由于函数在区间上单调递减，但函数是由函数把轴下方图象沿轴翻折到轴上方得到的，则函数在区间上单调递减不一定成立.故③是假命题.
④当时，函数恒成立，此时函数的最小值为.故④是真命题.
故答案为①④.