Question

14．若偶函数f（x）=e${\;}^{-（x-m）^{2}}$（e是自然对数的底数）的最大值为n，则f（n^m+mⁿ）=$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 令t=-（x-m）²，则原函数化为g（t）=e^t，由复合函数的单调性可得原函数的增区间为（-∞，m），减区间为（m，+∞），即x=m时函数取得最大值n，由此求得n=1，f（x）=e${\;}^{-（x-m）^{2}}$是偶函数，可得m=0，即可得出结论．

解答 解：令t=-（x-m）²，则原函数化为g（t）=e^t，
内函数t=-（x-m）²在（-∞，m）上为增函数，在（m，+∞）上为减函数，
又外函数g（t）=e^t为增函数，
∴原函数的增区间为（-∞，m），减区间为（m，+∞），
∴当x=m时函数有最大值n=e⁰=1．
∵f（x）=e${\;}^{-（x-m）^{2}}$是偶函数，
∴m=0，
∴f（n^m+mⁿ）=f（1）=$\frac{1}{e}$．
故答案为：$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．