Question

9．设函数f（x）=x²+ax+b．若方程f[f（x）]=0有四个不同的实数根x₁，x₂，x₃，x₄．且f（x₁）=f（x₂），x₁+x₂=-1．则实数b的取值范围是b＜$-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据f（x₁）=f（x₂），x₁+x₂=-1．可得函数f（x）=x²+ax+b的图象关于直线x=-$\frac{1}{2}$对称，可得a=1，进而可得f（x₃）=f（x₄），x₃+x₄=-1．令f（x₁）=f（x₂）=m，f（x₃）=f（x₄）=n，则m+n=-1，m＞f（-$\frac{1}{2}$），n＞f（-$\frac{1}{2}$），解得答案．

解答 解：∵f（x₁）=f（x₂），x₁+x₂=-1．
故函数f（x）=x²+ax+b的图象关于直线x=-$\frac{1}{2}$对称，
即$-\frac{a}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
故a=1，
则f（x₃）=f（x₄），x₃+x₄=-1．
令f（x₁）=f（x₂）=m，f（x₃）=f（x₄）=n，
则m+n=-1，m＞f（-$\frac{1}{2}$），n＞f（-$\frac{1}{2}$），
故-1＞2f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{4b-1}{2}$，
解得：b＜$-\frac{1}{4}$，
故答案为：b＜$-\frac{1}{4}$

点评 本题考查的知识点是函数的零点与方程的根，二次函数的图象和性质，本题转化困难，属于难题．