题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ) 若函数有零点, 求实数
的取值范围;
(Ⅱ) 证明: 当时,
.
【答案】(I);(II)详见解析.
【解析】试题分析:(I)对函数求导,可得函数单调性,并求得函数的最小值,若函数有零点,函数最小值小于零且在定义域范围有函数值大于零,解不等式可得的范围;(Ⅱ)将
代入不等式化简为
,可构造函数
利用导数判断单调性可知在
条件下
最小值为
,
最大值为
.可证命题.
试题解析:
(Ⅰ)法1: 函数的定义域为
.
由, 得
.
因为,则
时,
;
时,
.
所以函数在
上单调递减, 在
上单调递增.
当时,
.
当, 即
时, 又
, 则函数
有零点.
所以实数的取值范围为
.
法2:函数的定义域为
.
由, 得
.
令,则
.
当时,
; 当
时,
.
所以函数在
上单调递增, 在
上单调递减.
故时, 函数
取得最大值
.
因而函数有零点, 则
.
所以实数的取值范围为
.
(Ⅱ) 要证明当时,
,
即证明当时,
, 即
.
令, 则
.
当时,
;当
时,
.
所以函数在
上单调递减, 在
上单调递增.
当时,
.
于是,当时,
①
令, 则
.
当时,
;当
时,
.
所以函数在
上单调递增, 在
上单调递减.
当时,
.
于是, 当时,
②
显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时,
.
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