题目内容

【题目】已知函数.

() 若函数有零点, 求实数的取值范围;

(Ⅱ) 证明: 当时, .

【答案】(I);(II)详见解析.

【解析】试题分析:(I)对函数求导,可得函数单调性,并求得函数的最小值,若函数有零点,函数最小值小于零且在定义域范围有函数值大于零,解不等式可得的范围;()代入不等式化简为,可构造函数 利用导数判断单调性可知在 条件下 最小值为最大值为.可证命题.

试题解析:

()法1: 函数的定义域为.

, 得.

因为,则时, ;时, .

所以函数上单调递减, 在上单调递增.

时, .

, 即时, ,函数有零点.

实数的取值范围为.

法2:函数的定义域为.

, 得.

,则.

时, ; 当时, .

所以函数上单调递增, 在上单调递减.

时, 函数取得最大值.

因而函数有零点, 则.

所以实数的取值范围为.

(Ⅱ) 要证明当时, ,

即证明当时, , 即.

, 则.

时, ;时, .

所以函数上单调递减, 在上单调递增.

时, .

于是,当时,

, 则.

时, ;时, .

所以函数上单调递增, 在上单调递减.

时, .

于是, 当时,

显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.

故当时, .

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