Question

【题目】已知点P（2，0），及⊙C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．
（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线与⊙C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，圆的标准方程为：（x﹣3）2+（y+2）2=9，

①设直线l的斜率为k（k存在）

则方程为y﹣0=k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k=0

又⊙C的圆心为（3，﹣2），r=3，

由

所以直线方程为 即3x+4y﹣6=0；

②当k不存在时，直线l的方程为x=2．

综上，直线l的方程为3x+4y﹣6=0或x=2

（2）解：由弦心距 ，即|CP|= ，

设直线l的方程为y﹣0=k（x﹣2）即kx﹣y﹣2k=0则圆心（3，﹣2）到直线l的距离d= = ，

解得k= ，所以直线l的方程为x﹣2y﹣2=0联立直线l与圆的方程得 ，

消去x得5y2﹣4=0，则P的纵坐标为0，把y=0代入到直线l中得到x=2，

则线段AB的中点P坐标为（2，0），所求圆的半径为： |AB|=2，

故以线段AB为直径的圆的方程为：（x﹣2）2+y2=4

【解析】（1）把圆的方程变为标准方程后，分两种情况①斜率k存在时，因为直线经过点P，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k的值和P的坐标写出直线l的方程即可；②当斜率不存在时显然得到直线l的方程为x=2；（2）利用弦|AB|的长和圆的半径，根据垂径定理可求出弦心距|CP|的长，然后设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于|CP|列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程，把直线l的方程与已知圆的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理即可求出线段AB中点的纵坐标，把纵坐标代入到直线l的方程中即可求出横坐标，即可得线段AB的中点坐标即为线段AB为直径的圆的圆心坐标，圆的半径为|AB|的一半，根据圆心和半径写出所求圆的标准方程即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解一般式方程(直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）)，还要掌握圆的标准方程(圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程)的相关知识才是答题的关键．