Question

【题目】已知圆C：x2+y2﹣2x﹣2ay+a2﹣24=0（a∈R）的圆心在直线2x﹣y=0上．
（1）求实数a的值；
（2）求圆C与直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）相交弦长的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣a）2=25，

将圆心坐标（1，a）代入直线方程2x﹣y=0中，

得a=2

（2）解：∵直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0（m∈R）．

∴l恒过的交点M（3，1）．

由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．

又|CM|= = ，

∴弦长为l=2 =2 =4

【解析】（1）化简圆的方程，求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可求实数a的值；（2）求出直线系（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）经过的定点，利用圆心距，半径半弦长满足勾股定理，求解相交弦长的最小值．