对一批产品进行质量检验.方案如下:先从这批产品中任取4件作检验．(1)如果这4件产品中有三件优质产品.则从这批产品中再任取4件进行检验若都为优质品.则这批产品通过检验,(2)如果这4件产品全为优质品.则再从这批产品中任取1件作检验.若为优质品.则这批产品通过检验,(3)其他情况下.这批产品都不能通过检验．假设取出的产品是优质品� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．对一批产品进行质量检验，方案如下：先从这批产品中任取4件作检验．
（1）如果这4件产品中有三件优质产品，则从这批产品中再任取4件进行检验若都为优质品，则这批产品通过检验；
（2）如果这4件产品全为优质品，则再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；
（3）其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设取出的产品是优质品的概率都为$\frac{1}{2}$，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为80元，且抽出的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．

分析（Ⅰ）设立事件得出第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验记为事件，AB与CD互斥，根据互斥事件概率求解即可．
（II）确定X的可能取值为640，400，320，求解概率P（X=640）=C${\;}_{4}^{3}$）（$\frac{1}{2}$）⁴，
P（X=400）=（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，P（X=320）．列出分布列即可得出数学期望．

解答解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验记为事件E．
根据题意，有E=（AB）∪（CD），且AB与CD互斥，
∴P（E）=P（AB）+P（CD）=P（A）P（B|A）+P（C）P（D|C）
=${C}_{4}^{3}$（$\frac{1}{2}$）³×$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）⁴+（$\frac{1}{2}$）⁴×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{64}$；
（Ⅱ）X的可能取值为640，400，320，分别对应检验方案中的（1），（2），（3）．
∵P（X=640）=C${\;}_{4}^{3}$）（$\frac{1}{2}$）⁴=4×$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=400）=（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，
P（X=320）=1-$\frac{4}{16}-\frac{1}{16}=\frac{11}{16}$，
∴X的分布列为

日期	1月10日	2月10日	3月10日	4月10日	5月10日	6月10日
昼夜温差x （℃）	10	11	13	12	8	6
就诊人数 y（人）	22	25	29	26	16	12

	好评	中评	差评
A款	80%	15%	5%
B款	88%	12%	0
C款	80%	10%	10%
D款	84%	8%	8%

X	640	400	320
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{11}{16}$

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