题目内容

5．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日
昼夜温差x
（℃）		1011131286
就诊人数
y（人）		222529261612
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．）

分析 （1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．
（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想

解答 解：（1）由表中数据求得$\overline{x}$=11，$\overline{y}$=24，
由b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{0+10+2+24}{14}$=$\frac{18}{7}$，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=24-$\frac{18}{7}$×11=-$\frac{30}{7}$
y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{18}{7}$x-$\frac{30}{7}$  …（6分）
（2）当x=10时，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{150}{7}$，
|$\frac{150}{7}$-22|=$\frac{4}{7}$＜2；
当x=6时，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{78}{7}$，|$\frac{78}{7}$-12|=$\frac{6}{7}$＜2．
所以，该小组所得线性回归方程是理想的．…（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中．

练习册系列答案
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15．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y（元）与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见下表：
x3456789
y66697381899091
已知：$\sum_{i=1}^{7}$${x}_{i}^{2}$=280，$\sum_{i=1}^{7}$xiyi=3 487．
（1）求$\overline{x}$，$\overline{y}$；
（2）画出散点图；
（3）求纯利润y与每天销售件数x之间的回归直线方程．
16．甲乙两人进行射击比赛，各射击5次，成绩（环数）如下表：


环数		第1次第2次第3次第4次第5次
甲457910
乙56789
（1）分别求出甲、乙射击成绩的平均数及方差，并由此分析两人的射击水平；
（2）若分别对甲、乙两人各取一次成绩，求两人成绩之差不超过2环的概率．
13．给出如下四个命题：
①方程x2+y2-2x+1=0表示的图形是圆；
②椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}$=1的离心率e=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$；
③抛物线x=2y2的准线的方程是x=-$\frac{1}{8}$；
④双曲线$\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}$=1的渐近线方程是y=±$\frac{5}{7}$x．
其中所有不正确命题的序号是①②．
20．如图，已知多面体ABCDFEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，若四边形ADEF为矩形，AB∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，BC⊥BD，M为EC中点．
（1）求证：BC⊥平面BDE；
（2）求证：BM∥平面ADEF．
10．下列四个结论，其中正确的有（　　）个．
①已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a1+a2+…+a7=-3；
②过原点作曲线y=ex的切线，则切线方程为ex-y=0（其中e为自然对数的底数）；
③已知随机变量X～N（3，1），且P（2≤X≤4）=0.6862，则P（X＞4）=0.1587
④已知n为正偶数，用数学归纳法证明等式1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$=2（$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+4}$+…+$\frac{1}{2n}$）时，若假设n=k（k≥2）时，命题为真，则还需利用归纳假设再证明n=k+1时等式成立，即可证明等式对一切正偶数n都成立．
⑤在回归分析中，常用R2来刻画回归效果，在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近1，表示回归的效果越好．
A．2B．3C．4D．5
17．对一批产品进行质量检验，方案如下：先从这批产品中任取4件作检验．
（1）如果这4件产品中有三件优质产品，则从这批产品中再任取4件进行检验若都为优质品，则这批产品通过检验；
（2）如果这4件产品全为优质品，则再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；
（3）其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设取出的产品是优质品的概率都为$\frac{1}{2}$，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为80元，且抽出的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
14．不等式$\frac{x}{x+1}$＜0的解集为（-1，0）．
15．已知函数f（x）=ax2+ax-1，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0的解集为R，求实数a的取值范围．

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