题目内容
【题目】已知a是实数,函数.
(1)若,求a的值及曲线
在点
处的切线方程;
(2)讨论函数在区间
上的单调性.
【答案】(1),
;(2)见解析.
【解析】
(1)化简并对其求导,由
的值构建方程,求得a,进而由点斜式表示切线方程;
(2)对求导,令
,表示两根,利用分类讨论含参数的根所在区间,从而得其导函数的正负关系,即原函数的单调性对应增减.
(1),
,
则,
,
,
,
因此,曲线在点
处的切线方程为
,即
;
(2),
,
令,得
,
.
①当时,即当
时,对任意的
,
,
此时,函数在区间
上单调递增.
②当时,即当
时,
此时,当,则
;
当时,
.
此时,函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;
③当时,即当
时,对任意的
,
.
此时,函数在区间
上单调递减.
综上所述,当时,函数
在区间
上单调递增;
当时,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;
当时,函数
在区间
单调递减.
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