题目内容

【题目】如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,且

(1)证明:平面

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

1)推导出PAADPAAB,由此能证明PA⊥平面ABCD.(2)以A为原点,ABADAPxyz轴的正方向建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值.

(1)因为,所以,即.

同理可得.

因为.所以平面.

(2)由题意可知,两两垂直,故以A为原点,分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

所以.

设平面的法向量为

不妨取

易得平面,所以平面的一个法向量为

记平面与平面所成锐二面角为,则

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

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