题目内容
【题目】已知
是函数
的极值点.
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）求证：函数
存在唯一的极小值点
，且
.
（参考数据：
）
【答案】(Ⅰ) 
(Ⅱ)见证明
【解析】
(Ⅰ)根据
求得
；通过导数验证函数的单调性，可知时极值点为
，满足题意；(Ⅱ)根据(Ⅰ)可知极小值点位于
，此时
的零点
，且此时
为极小值点，代入
得到关于的二次函数，求解二次函数值域即可证得结论.
(Ⅰ)因为
，且是极值点
所以
，所以
此时
设
，则
则当
时，
，为减函数
又
当
时，
，则为增函数
当
时，
，则为减函数
此时为的极大值点，符合题意
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，时，不存在极小值点
当
时，
，为增函数，且
，
所以存在
结合(Ⅰ)可知当
时，，为减函数；
时，，为增函数，所以函数存在唯一的极小值点
又
，所以
且满足
.
所以
由二次函数图象可知：
又
，
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