题目内容
【题目】已知是函数
的极值点.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求证:函数存在唯一的极小值点
,且
.
(参考数据:)
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明
【解析】
(Ⅰ)根据求得
;通过导数验证函数的单调性,可知
时极值点为
,满足题意;(Ⅱ)根据(Ⅰ)可知极小值点位于
,此时
的零点
,且此时
为极小值点,代入
得到关于
的二次函数,求解二次函数值域即可证得结论.
(Ⅰ)因为,且
是极值点
所以,所以
此时
设 ,则
则当时,
,
为减函数
又
当时,
,则
为增函数
当 时,
,则
为减函数
此时为
的极大值点,符合题意
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,时,不存在极小值点
当时,
,
为增函数,且
,
所以存在
结合(Ⅰ)可知当时,
,
为减函数;
时,
,
为增函数,所以函数
存在唯一的极小值点
又 ,所以
且满足 .
所以
由二次函数图象可知:
又,
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