题目内容
12．
如图，在△ABC中，D为BC中点，记$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$．（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AC}$．
（2）求|$\overrightarrow{AC}$|
分析 （1）利用三角形法则，表示$\overrightarrow{AC}$；
（2）利用（1）的结论，先求其平方值，展开转化为向量模压机数量积的计算．
解答 解：（1）由已知得到$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+2（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{a}+2（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$=-$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$；
（2）由（1）得到|$\overrightarrow{AC}$|2=（-$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）2=${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$=4-4×2×1×cos$\frac{π}{3}$+4=4-4+4=4，所以|$\overrightarrow{AC}$|=2．
点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用；正确表示$\overrightarrow{AC}$/熟练运用数量积公式是关键．
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