题目内容

15.设n∈N*,函数f(x)=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$,函数g(x)=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$,x∈(0,+∞).
(Ⅰ)当n=1时,写出函数y=f(x)-2零点个数,并说明理由;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)分别位于直线l:y=1的两侧,求n的所有可能取值.

分析 (Ⅰ)当n=1时,f(x)=$\frac{lnx}{x}$,求导可得f′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,从而可得函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,从而求得函数y=f(x)-2的最大值为f(e)-2=$\frac{1}{e}$-2<0,从而判断出函数y=f(x)-2不存在零点.
(Ⅱ)求导可得f′(x)=$\frac{1-nlnx}{{x}^{n+1}}$,从而可得当x=${e}^{\frac{1}{n}}$时,函数f(x)有最大值f(${e}^{\frac{1}{n}}$)=$\frac{1}{ne}$;同理可得当x=n时,函数g(x)有最小值g(n)=$(\frac{e}{n})^{n}$;从而可得$(\frac{e}{n})^{n}$>1,从而解得.

解答 解:(Ⅰ)函数y=f(x)-2不存在零点.
当n=1时,f(x)=$\frac{lnx}{x}$,
求导得f′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
令f′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0解得x=e.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化如下表所示:

x(0,e)e(e,+∞)
f′(x)+0-
f(x)
所以函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
则当x=e时,函数f(x)有最大值f(e)=$\frac{1}{e}$.
所以函数y=f(x)-2的最大值为f(e)-2=$\frac{1}{e}$-2<0,
所以函数y=f(x)-2不存在零点.
(Ⅱ)由函数f(x)=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$求导,得f′(x)=$\frac{1-nlnx}{{x}^{n+1}}$,
令f′(x)=0,解得x=${e}^{\frac{1}{n}}$.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化如下表所示:
x(0,${e}^{\frac{1}{n}}$)${e}^{\frac{1}{n}}$(${e}^{\frac{1}{n}}$,+∞)
f′(x)+0-
f(x)
所以函数f(x)在(0,${e}^{\frac{1}{n}}$)上单调递增,在(${e}^{\frac{1}{n}}$,+∞)上单调递减,
则当x=${e}^{\frac{1}{n}}$时,函数f(x)有最大值f(${e}^{\frac{1}{n}}$)=$\frac{1}{ne}$;
由函数g(x)=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$,x∈(0,+∞)求导,
得g′(x)=$\frac{{e}^{x}(x-n)}{{x}^{n+1}}$,
令g′(x)=0,解得x=n.
当x变化时,g′(x)与g(x)的变化如下表所示:
x(0,n)n(n,+∞)
g′(x)-0+
g(x)
所以函数g(x)在(0,n)上单调递减,在(n,+∞)上单调递增,
则当x=n时,函数g(x)有最小值g(n)=$(\frac{e}{n})^{n}$.
因为?n∈N*,函数f(x)有最大值f(${e}^{\frac{1}{n}}$)=$\frac{1}{ne}$<1,
所以曲线y=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$在直线l:y=1的下方,
而曲线y=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$在直线l:y=1的上方,
所以$(\frac{e}{n})^{n}$>1,解得n<e.
所以n的取值集合为{1,2}.

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点的个数的判断,从而解得.

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