题目内容
5.奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=3x+$\frac{1}{2}$,则f(log354)=( )A. | -2 | B. | -$\frac{7}{6}$ | C. | $\frac{7}{6}$ | D. | 2 |
分析 由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=f(x),可得到函数f(x)的周期是4,利用对数的运算性质、函数的周期性和奇偶性,将f(log354)转化为-$f({log}_{3}\frac{3}{2})$,代入函数解析式求出$f({log}_{3}\frac{3}{2})$的值,即可得到f(log354)的值.
解答 解:∵f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的奇函数,
又∵$f({log}_{3}54)=f(lo{g}_{3}^{81×\frac{2}{3}})=f(4+{log}_{3}\frac{2}{3})=f({log}_{3}\frac{2}{3})=f(-{log}_{3}\frac{3}{2})=-f({log}_{3}\frac{3}{2})$,
∵$0<{log_3}\frac{3}{2}<1$,∴$f({{{log}_3}\frac{3}{2}})={3^{{{log}_3}\frac{3}{2}}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$,∴f(log354)=-2,
故选:A.
点评 本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用,以及对数的运算性质,考查转化思想,属于中档题.
练习册系列答案
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13.在平面直角坐标系中,不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-y+2≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域的面积是( )
A. | 4$\sqrt{2}$ | B. | 4 | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 2 |
20.已知a∈R,复数z=$\frac{n-i}{1-i}$是纯虚数(i是虚数单位),则a=( )
A. | -$\sqrt{2}$ | B. | -1 | C. | 1 | D. | $\sqrt{2}$ |
14.对于原命题“正弦函数不是分段函数”,陈述正确的是( )
A. | 否命题是“正弦函数是分段函数 | |
B. | 逆否命题是“分段函数不是正弦函数” | |
C. | 逆否命题是“分段函数是正弦函数” | |
D. | 以上都不正确 |