Question

7．已知f（x）=x（1-lnx），g（x）=x+$\frac{a}{x}$-1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对?x₁∈[1，e]，?x₂∈[1，e]，时f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出函数f（x）的导数，问题等价于g（x）_最大值≥1，g（x）_最小值≤0，求出g（x）的导数，通过讨论参数的范围，判断函数g（x）的单调性，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=-lnx，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）由（1）得：f（x）在[1，e]递减，
∴f（x）_最小值=f（e）=0，f（x）_最大值=f（1）=1，
对?x₁∈[1，e]，?x₂∈[1，e]，使f（x₁）=g（x₂）成立，
等价于g（x）_最大值≥1，g（x）_最小值≤0，
而g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
①a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，e]递增，
∴g（x）_最大值=g（e）=e+$\frac{a}{e}$-1≥1，解得：a≥2e-e²，
g（x）_最小值=g（1）=a≤0，
此时：2e-e²≤a≤0，符合题意；
②1＜a＜e²时，令g′（x）=0，解得：x=$\sqrt{a}$，
∴g（x）在[1，$\sqrt{a}$）递减，在（$\sqrt{a}$，e]递增，
∴g（x）_最小值=g（$\sqrt{a}$）=2$\sqrt{a}$-1≤0，解得：a≤$\frac{1}{4}$，不合题意，
③a≥e²时，g′（x）＜0，g（x）在[1，e]单调递减，经过验证，也不符合条件，舍去，
故a的范围是：[2e-e²，0]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．