Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}$+$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点（1，$\frac{3}{2}$）
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l，求四边形F₁MNF₂的面积；
（3）过椭圆C内一点T（t，0）作两条直线分别交椭圆C于点A，C，和B，D，设直线AC与BD的斜率分别是k₁，k₂，若|AT|•|TC|=|BT|•|TD|试问k₁+k₂是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系和点满足椭圆方程，即可解得a，b，c，进而得到椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，求得m，再由点到直线的距离公式和直角梯形的面积公式计算即可得到；
（3）分别设出直线AC，BD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，得到|AT|•|TC|和|BT|•|TD|，由条件即可得到k₁+k₂是否为定值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
将点（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）将直线y=x+m代入椭圆方程可得，
7x²+8mx+4m²-12=0，
由直线和椭圆相切的条件可得△=64m²-28（4m²-12）=0，
解得m=$±\sqrt{7}$，
焦点F₁（-1，0），F₂（1，0），
由对称性可取直线y=x+$\sqrt{7}$，
则|MF₁|=$\frac{|\sqrt{7}-1|}{\sqrt{2}}$，|MF₂|=$\frac{|\sqrt{7}+1|}{\sqrt{2}}$，|MF₂|-|MF₁|=$\sqrt{2}$，
|MN|=$\sqrt{4{c}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有四边形F₁MNF₂的面积为S=$\frac{1}{2}$|MN|•（|MF₁|+|MF₂|）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{14}$
=$\sqrt{7}$；
（3）设T（t，s），s=0，则直线AC的方程为y=k₁（x-t）+s，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-t）+s}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k₁²+3）x²+8k₁（s-k₁t）x+4[（s-k₁t）²-3]=0．
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8{k}_{1}（s-{k}_{1}t）}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4[（s-{k}_{1}t）^{2}-3]}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$．
∴|AT|•|TC|=（1+k₁²）|（x₁-t）（x₂-t）|=（1+k₁²）|x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²|
=（1+k₁²）|$\frac{4[（s-{k}_{1}t）^{2}-3]}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$+t•$\frac{8{k}_{1}（s-{k}_{1}t）}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$+t²|=（1+k₁²）|$\frac{4{s}^{2}+3{t}^{2}-12}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$|．
同理，直线BD的方程为y=k₂（x-t）+s，
则|BT|•|TD|=（1+k₂²）|$\frac{4{s}^{2}+3{t}^{2}-12}{3+4{{k}_{2}}^{2}}$|．
∵|AT|•|TC|=|BT|•|TD|，
∴（1+k₁²）|$\frac{4{s}^{2}+3{t}^{2}-12}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$|=（1+k₂²）|$\frac{4{s}^{2}+3{t}^{2}-12}{3+4{{k}_{2}}^{2}}$|．
又T为椭圆内任意一点，且s=0，
∴$\frac{{t}^{2}}{4}$+$\frac{{s}^{2}}{3}$＜1，即4s²+3t²-12＜0，$\frac{1+{{k}_{1}}^{2}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{1+{{k}_{2}}^{2}}{3+4{{k}_{2}}^{2}}$，
∴k₁²=k₂²．
又直线AC与BD不重合，
∴k₁+k₂=0为定值．

点评 本题主要考查了椭圆的方程和性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力．