Question

16．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）与直线y=3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x=$\frac{π}{6}$是f（x）的一条对称轴，则下列区间中不是函数f（x）的单调递增区间的是（　　）

• A． [-$\frac{π}{3}$，0]
• B． [-$\frac{4π}{3}$，-$\frac{5π}{6}$]
• C． [$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]
• D． [-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]

Answer 1

分析 由周期求得ω的值，根据图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式；再根据正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间，从而得出结论．

解答 解：由题意可得，函数f（x）的周期为$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2，且A=3．
再由2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$可得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
故区间[-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]不是函数的增区间，
故选：D．

点评 本题主要考查由条件求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，正弦函数的图象特征、正弦函数的单调性，属于基础题．