题目内容

14.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax-2(a>0),若?x∈[-1,2],恒有(x)>g(x)成立,则a的取值范围是0<a<2$\sqrt{2}$-2;若?x1∈[-1,2],?x2∈[-1,2],使得(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是a≥$\frac{5}{2}$.

分析 ①?x∈[-1,2],恒有f(x)>g(x)成立,化为“?x∈[-1,2],h(x)=f(x)-g(x)>0恒成立”,
由此求出实数a的取值范围;
②?x1∈[-1,2],?x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),转化为x2∈[-1,2]时,g(x2)的值域A与f(x1)的值域B的关系是A?B,由此求出实数a的取值范围.

解答 解:①根据题意,当?x∈[-1,2]时,恒有f(x)>g(x)成立,
即?x∈[-1,2],h(x)=f(x)-g(x)>0恒成立,
又a>0时,h(x)=(x2-2x)-(ax-2)=x2-(2+a)x+2的对称轴是x=1+$\frac{a}{2}$>1,
所以,当1+$\frac{a}{2}$≤2,即a≤2时,h(x)在x∈[-1,2]上的最小值是
h(1+$\frac{a}{2}$)=${(1+\frac{a}{2})}^{2}$-(2+a)(1+$\frac{a}{2}$)+2=-${(1+\frac{a}{2})}^{2}$+2>0,
解得0<a<2$\sqrt{2}$-2;
当1+$\frac{a}{2}$>2,即a>2时,h(x)在x∈[-1,2]上是减函数,最小值是
h(2)=4-2(2+a)+2>0,解得a<1,不满足题意,舍去;
综上,实数a的取值范围是0<a<2$\sqrt{2}$-2;
②由①知,?x1∈[-1,2]时,f(x1)=[-1,3];
又?x1∈[-1,2],都?x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),
∴当x2∈[-1,2]时,a>0,g(x)=ax-2是增函数,
g(x2)的值域为[g(-1),g(2)],且满足[g(-1),g(2)]?[-1,3];
即$\left\{\begin{array}{l}{-a-2≤-1}\\{2a-2≥3}\end{array}\right.$,解得a≥$\frac{5}{2}$;
∴实数a的取值范围是a≥$\frac{5}{2}$.
故答案为:0<a≤$\frac{1}{2}$;a≥$\frac{5}{2}$.

点评 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题,解题时应根据题意构造函数,求出函数的最值和值域,分类解答,是综合性题目.

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