Question

2．已知数列{a_n}满足：S_n=1-a_n（n∈N₊），其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）假设已知a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N₊，若数列{b_n}满足：b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$（n∈N₊），试求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=1-a_n（n∈N₊），可得a₁=1-a₁，解得a₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可证明．
（II）a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N₊，数列{b_n}满足：b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ（n∈N₊），利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （I）证明：∵S_n=1-a_n（n∈N₊），∴a₁=1-a₁，解得${a}_{1}=\frac{1}{2}$；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），化为2a_n=a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$；
（II）解：a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n∈N₊，
∴数列{b_n}满足：b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ（n∈N₊），
{b_n}的前n项和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．