Question

5．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上的任意一点P（x，y）变换为点P′（x-2y，x+y）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）求圆x²+y²=1在矩阵M对应的变换作用后得到的曲线C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设P′（x′，y′），利用$\left\{\begin{array}{l}x'=x-2y\\ y'=x+y\end{array}\right.$，即得结论；
（Ⅱ）通过（I），用x′、y′表示出x、y，并代入曲线C方程即得结论．

解答 解：设P′（x′，y′），依题意得：$\left\{\begin{array}{l}x'=x-2y\\ y'=x+y\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x'+\frac{2}{3}y'\\ y=-\frac{1}{3}x'+\frac{1}{3}y\end{array}\right.$，∴${M^{-1}}=（\begin{array}{l}\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\end{array}\right.$$\left.\begin{array}{l}\frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}）$；
（Ⅱ）∵点P（x，y）在圆x²+y²=1上，
又$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x'+\frac{2}{3}y'\\ y=-\frac{1}{3}x'+\frac{1}{3}y\end{array}\right.$，∴${（{\frac{1}{3}x'+\frac{2}{3}y'}）^2}+{（{-\frac{1}{3}x'+\frac{1}{3}y'}）^2}=1$，
即得2x′²+2x′y′+5y′²=9，
∴变换作用后得到的曲线C的方程为2x²+2xy+5y²=9．

点评 本题考查逆矩阵与逆变换，注意解题方法的积累，属于中档题．