题目内容
17．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}； ②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=ex-2}；
④M={（x，y）|y=sinx+1}；其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
| A． | ①④ | B． | ②③ | C． | ③④ | D． | ②④ |
分析 由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．
解答 解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．
①M={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}，假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点（x1，$\frac{1}{{x}_{1}}$），（x2，$\frac{1}{{x}_{2}}$），满足$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}}{{x}_{1}}$•$\frac{\frac{1}{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$=-1，化为${x}_{1}^{2}•{x}_{2}^{2}$=-1，无解，因此假设不成立，即集合M不是“垂直对点集”，
②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；
对于③M={（x，y）|y=ex-2}，其图象过点（0，-1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=ex-2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=ex-2}是“垂直对点集”．
对于④M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故④符合；
综上可得：只有③④是“垂直对点集”．
故选：C
点评 本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | （0，3） | B． | （0，1）∪（1，3） | C． | （0，1） | D． | （-∞，1）∪（3，+∞） |
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |