Question

20．设a，b，c为三角形的三边长，求证：$\frac{a}{1+a}$，$\frac{b}{1+b}$，$\frac{c}{1+c}$也可以构成三角形．

Answer 1

分析 要证明：$\frac{a}{1+a}$，$\frac{b}{1+b}$，$\frac{c}{1+c}$也可以构成三角形，证明$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$＞$\frac{c}{1+c}$即可．利用分析法进行证明，注意分析法的格式即可．

解答 证明：要证明：$\frac{a}{1+a}$，$\frac{b}{1+b}$，$\frac{c}{1+c}$也可以构成三角形，
证明$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$＞$\frac{c}{1+c}$即可．
需证明：a（1+b）（1+c）+b（1+a）（1+c）＞c（1+a）（1+b）（4分）
需证明：a（1+b+c+bc）+b（1+a+c+ac）＞c（1+a+b+ab）
需证明a+2ab+b+abc＞c（8分）
∵a，b，c是△ABC的三边
∴a＞0，b＞0，c＞0且a+b＞c，abc＞0，2ab＞0
∴a+2ab+b+abc＞c
∴$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$＞$\frac{c}{1+c}$成立，
∴$\frac{a}{1+a}$，$\frac{b}{1+b}$，$\frac{c}{1+c}$也可以构成三角形．（12分）

点评 本题考查利用分析法证明不等式，解题时应注意分析法的格式．