Question

10．已知双曲线x²-y²=2015的左、右顶点分别为A₁，A₂，P是双曲线右支上一点，且∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，则tan∠PA₁A₂的值是$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 根据题意可表示A₁，A₂坐标，设出P坐标，则可分别表示出PA₁和PA₂的斜率，根据双曲线方程可知$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-2015}$=1，进而可推断出-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1．从而tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1，最后得出5∠PA₁A₂=$\frac{π}{2}$-∠PA₁A₂即可求得∠PA₁A₂．即可得出结论．

解答 解：由题意A₁（-$\sqrt{2015}$，0），A₂（$\sqrt{2015}$，0），P（x，y），
k_PA1=tan∠PA₁A₂=$\frac{y}{x+\sqrt{2015}}$，①
k_PA2=-tan∠PA₂A₁=$\frac{y}{x-\sqrt{2015}}$，②
由x²-y²=2015得$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-2015}$=1，
①×②，得-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1，
∴tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1
即tan（5∠PA₁A₂）=tan（$\frac{π}{2}$-∠PA₁A₂）
∴5∠PA₁A₂=$\frac{π}{2}$-∠PA₁A₂
∴∠PA₁A₂=$\frac{π}{12}$，
∴tan∠PA₁A₂=tan$\frac{π}{12}$=tan（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题以双曲线为载体，主要考查了双曲线的简单性质，解析几何的基础知识．题中灵活的利用了双曲线的方程．