题目内容
设函数
有两个极值点
,且
.
(1)求
的取值范围,并讨论
的单调性;
(2)证明:
.



(1)求


(2)证明:

(1)
的取值范围是
在区间
和
是增函数,在区间
是减函数.
(2)见解析






(2)见解析
(1)由题设知,函数
的定义域是

且
有两个不同的根
,故
的判别式
,
即
且
①
又
故
.
因此
的取值范围是
.
当
变化时,
与
的变化情况如下表:

因此
在区间
和
是增函数,在区间
是减函数.
(2)由题设和①知
于是
.
设函数
则
当
时,
;
当
时,
故
在区间
是增函数.
于是,当
时,

因此
.



且




即

且

又


因此


当




因此




(2)由题设和①知

于是

设函数

则

当


当




于是,当


因此


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