题目内容
已知函数f(x)=-ax(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a=1,函数在区间(0,+)上为增函数,求整数m的最大值.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a=1,函数在区间(0,+)上为增函数,求整数m的最大值.
(1)当时,在上为增函数;当时,在为减函数,在为增函数;(2)的最大值为1.
试题分析:(1)讨论函数的单调性首先注意明确函数的定义域,由于该函数是超越函数与一次函数的和构成的,所以考虑用导数,先求出函数的导数得,由指数函数的性质可知要确定导数的正负须按和分类讨论,确定导数的符号而求出函数的单调区间;(2)函数在区间(0,+)上为增函数在恒成立,分离参数m,从而将所求问题转化为求函数的最值问题,构造新函数,再用导数研究此函数的最小值即可;注意所求的m为整数这一特性.
试题解析:(1)定义域为,,
当时,,所以在上为增函数; 2分
当时,由得,且当时,,
当时,
所以在为减函数,在为增函数. 6分
(2)当时,,
若在区间上为增函数,
则在恒成立,
即在恒成立 8分
令,;
,;令,
可知,,
又当时,
所以函数在只有一个零点,设为,即,
且; 9分
由上可知当时,即;当时,即,
所以,,有最小值, 10分
把代入上式可得,又因为,所以,
又恒成立,所以,又因为为整数,
所以,所以整数的最大值为1. 12分
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