题目内容

已知函数f(x)=-ax(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a=1,函数在区间(0,+)上为增函数,求整数m的最大值.
(1)当时,上为增函数;当时,为减函数,在为增函数;(2)的最大值为1.

试题分析:(1)讨论函数的单调性首先注意明确函数的定义域,由于该函数是超越函数与一次函数的和构成的,所以考虑用导数,先求出函数的导数得,由指数函数的性质可知要确定导数的正负须按分类讨论,确定导数的符号而求出函数的单调区间;(2)函数在区间(0,+)上为增函数恒成立,分离参数m,从而将所求问题转化为求函数的最值问题,构造新函数,再用导数研究此函数的最小值即可;注意所求的m为整数这一特性.
试题解析:(1)定义域为
时,,所以上为增函数;      2分
时,由,且当时,

所以为减函数,在为增函数.     6分
(2)当时,
在区间上为增函数,
恒成立,
恒成立           8分

;令
可知
又当
所以函数只有一个零点,设为,即
;    9分
由上可知当,即;当,即
所以,有最小值,    10分
代入上式可得,又因为,所以
恒成立,所以,又因为为整数,
所以,所以整数的最大值为1.       12分
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