题目内容
【题目】已知sinα＋cosα＝
，
，
，
(1)求sin2α和tan2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
【答案】(1) sin2α＝
，tan2α＝
，（2）cos(α＋2β)＝－
【解析】
（1）把已知条件两边平方，然后利用同角三角函数间的关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2α的值，根据2α的范围利用同角三角函数间的关系求出cos2α即可得到tan2α的值；
（2）根据β的范围求出
的范围，由sin（）的值利用同角三角函数间的关系求出cos（）的值，然后利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的关系分别求出sin2β和cos2β的值，根据第一问分别求出sinα和cosα的值，把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将每个三角函数值代入即可求出．
(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝
，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.
又2α∈(0，
)，∴cos2α＝
＝
，∴tan2α＝
＝.
(2)∵β∈(
，)，β－∈(0，)，∴cos(β－)＝，
于是sin2(β－)＝2sin(β－)cos(β－)＝
.
又sin2(β－)＝－cos2β，∴cos2β＝－.又2β∈(，π)，∴sin2β＝
.
又cos2α＝
＝，∴cosα＝
，sinα＝
(α∈(0，))．
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝
×(－)－
×＝－.
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