Question

15．设实数x，y，z均大于零，且x+2y+3z=1，则x²+y²+z²的最小值是$\frac{1}{14}$．

Answer 1

分析 由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²），代入解出即可．

解答 解：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²），
∴x²+y²+z²≥$\frac{1}{14}$，当且仅当$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$时取等号．
∴x²+y²+z²的最小值是$\frac{1}{14}$．
故答案为：$\frac{1}{14}$．

点评 本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．