在△ABC中.三个内角A.B.C的对边分别为a.b.c.则下列各式错误的是( )A．若sinA+cosA＜1.则△ABC为钝角三角形B．若a2+b2＜c2.则△ABC为钝角三角形C．若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＜0.则△ABC为钝角三角形D．若A.B为锐角且cosA＞sinB.则△ABC为钝� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列各式错误的是（　　）

	A．	若sinA+cosA＜1，则△ABC为钝角三角形
	B．	若a²+b²＜c²，则△ABC为钝角三角形
	C．	若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，则△ABC为钝角三角形
	D．	若A、B为锐角且cosA＞sinB，则△ABC为钝角三角形

分析对A，利用两角和正弦公式及正弦函数的单调性，判断角A是否大于直角即可；
对B，利用余弦定理判断角C是否为钝角；
对C，利用向量数量积公式，判断角B是否为钝角；
对D，先化同名三角函数，再利用单调性分析判断即可．

解答解：A选项∵sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）＜1，∴sin（A+$\frac{π}{4}$）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∵$\frac{π}{4}$＜A+$\frac{π}{4}$＜π+$\frac{π}{4}$，∴A+$\frac{π}{4}$＞$\frac{3π}{4}$，∴A＞$\frac{π}{2}$，故A正确；
B选项，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，∴C＞$\frac{π}{2}$，故B正确；
C选项，∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|cosB＞0，∴B＜$\frac{π}{2}$，故不能确定三角形为钝角三角形，故C错误；
D选项，∵cosA=sin（$\frac{π}{2}$-A）＞sinB，又∵若A、B为锐角，∴$\frac{π}{2}$＞B⇒A+B＜$\frac{π}{2}$，∴C＞$\frac{π}{2}$，故D正确．
故选：C．

点评本题借助考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，以及向量的数量积的定义，属于中档题和易错题．