Question

3．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_2n=a_n+1，a_2n+1=n-a_n则{a_n}的前100项和为1289．

Answer 1

分析 通过a_2n=a_n+1与a_2n+1=n-a_n相加可知a_2n+a_2n+1=n+1，进而S₁₀₀=a₁+[（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₁₀₀+a₁₀₁）]-a₁₀₁，问题转化为求a₁₀₁的值，进而计算即得结论．

解答 解：∵a_2n=a_n+1，a_2n+1=n-a_n，
∴a_2n+a_2n+1=n+1，
又∵a₁₀₁=50-a₅₀，
a₅₀=a₂₅+1，
a₂₅=12-a₁₂，
a₁₂=a₆+1=a₃+1+1=a₃+2，
a₃=1-a₁=1-2=-1，
∴a₁₀₁=38，
∴S₁₀₀=a₁+[（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₁₀₀+a₁₀₁）]-a₁₀₁
=2+（1+2+…+50）+50-38
=14+$\frac{50（50+1）}{2}$
=1289，
故答案为：1289．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力和思维逻辑能力，注意解题方法的积累，属于中档题．