题目内容
如图，正方形ABCD内接于椭圆
＝1(a＞b＞0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上，顶点P、Q在正方形的边AB上，且A、M都在第一象限．
(1)若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E、F两点，正方形MNPQ的边长为2.
①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；
②求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e2－k是定值．
＝1(a＞b＞0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上，顶点P、Q在正方形的边AB上，且A、M都在第一象限． (1)若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E、F两点，正方形MNPQ的边长为2.
①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；
②求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e2－k是定值．
（1）①见解析②
＝1（2）见解析
＝1（2）见解析(1)证明：①依题意：A(2，2)，M(4，1)，E(0，－2)，∴
＝(2，－1)，
＝(－2，－4)，∴·＝0，∴AM⊥AE.
∵AE为Rt△ABE外接圆直径，∴直线AM与△ABE的外接圆相切．
②解：由
解得椭圆标准方程为＝1.
(2)证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A(s，s)，M(s＋2t，t)，代入椭圆方程＝1，得
即
∴e2＝1－
.∵k＝
，∴2e2－k＝2为定值．
＝(2，－1)，＝(－2，－4)，∴·＝0，∴AM⊥AE.∵AE为Rt△ABE外接圆直径，∴直线AM与△ABE的外接圆相切．
②解：由
解得椭圆标准方程为＝1.(2)证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A(s，s)，M(s＋2t，t)，代入椭圆方程
＝1，得即 ∴e2＝1－
.∵k＝，∴2e2－k＝2为定值．
练习册系列答案
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＝1(a＞b＞0)的离心率为
，短轴的一个端点为M(0，1)，直线l：y＝kx－
与椭圆相交于不同的两点A、B.
，求k的值；
和双曲线
的一个交点,
、
分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为
，双曲线离心率为
，若
,则
（ ）
与双曲线
在交点处正交，则椭圆
＝1有相同的焦点，直线y＝
x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点)，设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为
，点M的横坐标为
.
＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
＝2
，
·
＝
，求椭圆的方程．
+
=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
＝1表示椭圆，则k的取值范围是________.