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若两曲线在交点P处的切线互相垂直,则称该两曲线在点P处正交,设椭圆
与双曲线
在交点处正交,则椭圆
的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
试题答案
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C
试题分析:由已知得
,代入
中,得
.
不妨设
在第一象限,则
.
将椭圆变形为
,
,故椭圆在P处的切线的斜率
,
将双曲线变形为
,
,故双曲线在P处的切线的斜率
,
∴
,将
代入得,
,又∵
,∴
,
∴
.
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已知椭圆
的焦距为
,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为
,
为坐标原点.
(1)求椭圆
的方程.
(2)设斜率为
的直线
与
相交于
、
两点,记
面积的最大值为
,证明:
.
设A
1
、A
2
与B分别是椭圆E:
=1(a>b>0)的左、右顶点与上顶点,直线A
2
B与圆C:x
2
+y
2
=1相切.
(1)求证:
=1;
(2)P是椭圆E上异于A
1
、A
2
的一点,若直线PA
1
、PA
2
的斜率之积为-
,求椭圆E的方程;
(3)直线l与椭圆E交于M、N两点,且
·
=0,试判断直线l与圆C的位置关系,并说明理由.
已知椭圆
的两焦点在
轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形
(1)求椭圆的方程;
(2)过点
的动直线
交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点Q,使得以AB为直径的圆恒过点Q?若存在求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由
如图,正方形ABCD内接于椭圆
=1(a>b>0),且它的四条边与坐标轴平行,正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上,顶点P、Q在正方形的边AB上,且A、M都在第一象限.
(1)若正方形ABCD的边长为4,且与y轴交于E、F两点,正方形MNPQ的边长为2.
①求证:直线AM与△ABE的外接圆相切;
②求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的离心率为e,直线AM的斜率为k,求证:2e
2
-k是定值.
已知椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为
,F为椭圆的右焦点,M、N两点在椭圆C上,且
=λ
(λ>0),定点A(-4,0).
(1)求证:当λ=1时,
⊥
;
(2)若当λ=1时,有
·
=
,求椭圆C的方程..
已知椭圆C:
=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为
.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为
时,求k的值.
已知抛物线D的顶点是椭圆C:
=1的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线D的方程;
(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点.
①若直线l的斜率为1,求MN的长;
②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由.
设
分别为椭圆
的左、右焦点,点
在椭圆上,若
,则点
的坐标是__________
关 闭
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