Question

19．已知函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）定义域容易求出为{x|x≠-1}；
（2）分离常数得到f（x）=$1-\frac{1}{x+1}$，从而可以看出f（x）在（0，+∞）上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，证明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在（0，+∞）上单调递增．

解答 解：（1）要使f（x）有意义，则：x≠-1；
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠-1}；
（2）$f（x）=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$；
∴x＞0时，x增大，$\frac{1}{x+1}$减小，f（x）增大；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，证明如下：
设x₁＞x₂＞0，则：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{2}+1}-\frac{1}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₁-x₂＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评 考查函数定义域的概念及其求法，分离常数法的运用，根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．