Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的通径等于1，过点M（0，1）的直线l与抛物线C分别相交于A．B两个不同的点．
（1）以AB为直径的圆是否过定点，若是请求出该点坐标．若不是，请说明理由；
（2）过AB两点分别作抛物线C的切线l₁，l₂，设它们相交于点E．求|OE|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的方程，设出直线方程与抛物线联立，证明原点O落在以AB为直径的圆上，即可得出结论；
（2）由导数求得两直线的斜率，用点斜式求得l₁ 的方程，同理求得l₂的方程，求出E的坐标，即可求|OE|的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线C：x²=2py（p＞0）的通径等于1，
∴2p=1，∴抛物线C：x²=y
依题意可设过P的直线l方程为：y=kx+1（k∈R），
代入x²=y，可得x²-kx-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
依题意可知△＞0恒成立，且x₁•x₂=-1，
∵x₁x₂+y₁y₂=x₁•x₂+（x₁•x₂）²=0，
∴原点O落在以AB为直径的圆上，
∴以AB为直径的圆过原点O；
（2）设E（x，y），由y=x²，得y′=2x，∴x=x₁，y′=2x₁，
∴l₁ 的方程为 y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²   ①，
同理，l₂ 的方程为 y=2x₂x-x₂²   ②，
由①②可得x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{k}{2}$，y=x₁x₂=-1
∴|OE|=$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{4}+1}$≥1．

点评 本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的综合应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查分析问题解决问题的能力．