题目内容
已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*).
(1)求数列{an}的通项an;
(2)若数列{bn}满足bn=(3n-1)an,数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ<Tn对一切n∈N*恒成立,求λ的取值范围.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)若数列{bn}满足bn=(3n-1)an,数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ<Tn对一切n∈N*恒成立,求λ的取值范围.
(1)(2)-1<λ<2
(1)由题知,+1,
∴+=3,
∴+=·3n-1=,∴an=.
(2)由(1)知,bn=(3n-1)·=n· n-1,
Tn=1×1+2× 1+3× 2+…+n· n-1,
Tn=1×+2× 2+…+(n-1) n-1+n n,
两式相减得,
Tn=1++=2-,∴Tn=4-.
∵Tn+1-Tn=>0,
∴|Tn|为递增数列.
①当n为正奇数时,-λ<Tn对一切正奇数成立,
∵(Tn)min=T1=1,∴-λ<1,∴λ>-1;
②当n为正偶数时,λ<Tn对一切正偶数成立,
∵(Tn)min=T2=2,∴λ<2.
综合①②知,-1<λ<2.
∴+=3,
∴+=·3n-1=,∴an=.
(2)由(1)知,bn=(3n-1)·=n· n-1,
Tn=1×1+2× 1+3× 2+…+n· n-1,
Tn=1×+2× 2+…+(n-1) n-1+n n,
两式相减得,
Tn=1++=2-,∴Tn=4-.
∵Tn+1-Tn=>0,
∴|Tn|为递增数列.
①当n为正奇数时,-λ<Tn对一切正奇数成立,
∵(Tn)min=T1=1,∴-λ<1,∴λ>-1;
②当n为正偶数时,λ<Tn对一切正偶数成立,
∵(Tn)min=T2=2,∴λ<2.
综合①②知,-1<λ<2.
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