题目内容

【题目】如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库,设AB=ykm,并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF(其中EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°。
(1)求y关于x的函数解析式,并求出定义域;
(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km,两条道路造价为30万元/km,问:x取何值时,该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低.

【答案】
(1)解:在△BCF中,CF=x,∠FBC=30°,CF⊥BF,所以BC=2x.

在△ABC中,AB=y,AC=y﹣1,∠ABC=60°,

由余弦定理,得AC2=BA2+BC2﹣2BABCcos∠ABC,…

即 ((y﹣1)2=y2+(2x)2﹣2y2xcos60°,

所以 .…

由AB﹣AC<BC,得 .又因为 >0,所以x>1.

所以函数 的定义域是(1,+∞).


(2)解:M=30(2y﹣1)+40x.

因为 .(x>1),所以M=30

即 M=10

令t=x﹣1,则t>0.于是M(t)=10(16t+ ),t>0,

由基本不等式得M(t)≥10(2 )=490,

当且仅当t= ,即x= 时取等号.

答:当x= km时,公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元.


【解析】(1)在△BCF中,CF=x,∠FBC=30°,CF⊥BF,BC=2x.在△ABC中,AB=y,AC=y﹣1,∠ABC=60°,由余弦定理,求解函数的解析式,然后求解定义域.(2)求出M=30(2y﹣1)+40x,通过基本不等式求解表达式的最值即可.
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义,需要了解利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值才能得出正确答案.

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