题目内容
【题目】如图,已知动直线l过点 ,且与圆O:x2+y2=1交于A、B两点.
(1)若直线l的斜率为 ,求△OAB的面积;
(2)若直线l的斜率为0,点C是圆O上任意一点,求CA2+CB2的取值范围;
(3)是否存在一个定点Q(不同于点P),对于任意不与y轴重合的直线l,都有PQ平分∠AQB,若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:因为直线l的斜率为 ,所以直线l ,
则点O到直线l的距离 ,
所以弦AB的长度 ,
所以
(2)解:因为直线l的斜率为0,所以可知 、 ,
设点C(x,y),则x2+y2=1,
又 ,所以CA2+CB2=4﹣2y,又y∈[﹣1,1],
所以CA2+CB2的取值范围是[2,6]
(3)解:法一:若存在,则根据对称性可知,定点Q在y轴上,设Q(0,t)、又设A(x1,y1)、B(x2,y2),
因直线l不与y轴重合,设直线l ,
代入圆O得 ,
所以 (*)
若PQ平分∠AQB,则根据角平分线的定义,AQ与BQ的斜率互为相反数
有 ,又 , ,
化简可得 ,
代入(*)式得 ,因为直线l任意,故 ,
即t=2,即Q(0,2)
解法二:若存在,则根据对称性可知,定点Q在y轴上,设Q(0,t)、又设A(x1,y1)、B(x2,y2),
因直线l不与y轴重合,设直线l ,
代入圆O得 ,
所以 (*)
若PQ平分∠AQB,则根据角平分线的几何意义,点A到y轴的距离d1,点B到y轴的距离d2满足 ,即 ,
化简可得 ,
代入(*)式得 ,因为直线l任意,故 ,
即t=2,即Q(0,2)
【解析】(1)因为直线l的斜率为 ,所以直线l ,利用弦长、半径、弦心距的关系,求得弦长及△OAB的高,即可求出面积.(2)因为直线l的斜率为0,所以可知 、 ,设点C(x,y),则x2+y2=1,又 =4﹣2y,又y∈[﹣1,1],
即可得CA2+CB2的取值范围.(3)法一:若存在,则根据对称性可知,定点Q在y轴上,设Q(0,t)、又设A(x1,y1)、B(x2,y2),因直线l不与y轴重合,设直线l ,代入圆O得 ,所以 (*) 由AQ与BQ的斜率互为相反数,可得 ,即求得t;解法二:若PQ平分∠AQB,则根据角平分线的几何意义,点A到y轴的距离d1,点B到y轴的距离d2满足 ,即 ,化简可得 ,同时求得t.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与圆的三种位置关系的相关知识,掌握直线与圆有三种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.