题目内容
【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= 
AB=1，M为PB中点． 
（1）证明：CM∥平面PAD；
（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．
【答案】
（1）证明：取AB中点N，连结MN，CN，
∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
∠DAB=90°，
PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= 
AB=1，
M为PB中点，
∴MN∥PA，CN∥AD，
∵MN∩CN=N，PA∩AD=A，MN，
CN平面MNC，PA，AD平面PAD，
∴平面MNC∥平面PAD，
∵CM平面MNC，∴CM∥平面PAD．
（2）解：以A为原点，AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），M（0，1， ），
=（1，0，﹣ ）， 
=（0，﹣1，﹣ ）， 
=（0，1，﹣ ），
设平面AMC的法向量 
=（x，y，z），
则 
，取z=2，得 =（1，﹣1，2），
设平面BMC的法向量 
=（a，b，c），
则 
，取c=2，得 =（1，1，2），
设二面角A﹣MC﹣B的平面角为θ，
则cosθ=﹣ 
=﹣ 
=﹣ 
，
∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣ ．
【解析】（1）取AB中点N，连结MN，CN，推导出平面MNC∥平面PAD，由此能证明CM∥平面PAD．（2）以A为原点，AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣MC﹣B的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．
