题目内容

20.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数y=f(x),当x>0时,f(x)=|lgx|.
(1)求x<0时f(x)的解析式;
(2)若存在四个互不相同的实数a,b,c,d使f(a)=f(b)=f(c)=f(d),求abcd的值.

分析 (1)根据函数奇偶性的性质,进行求解即可.
(2)根据对数函数和对数方程的关系进行求解即可.

解答 解:(1)当x<0时,-x>0,f(-x)=|lg(-x)|,(3分)
因f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
即f(x)=f(-x)=|lg(-x)|,
所以,当x<0时,f(x)=|lg(-x)|.(6分)
(2)不妨设a<b<c<d,令f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m,(m>0),则
当x>0时,f(x)=|lgx|=m,
可得lgx=±m,即x=10m或10-m,(10分)
当x<0时,f(x)=|lg(-x)|=m.可得lg(-x)=±m,
即x=-10m或-10-m,(14分)
因a<b<c<d,
所以a=-10m,b=-10-m,c=10-m,d=10m,abcd=10m.10-m.(-10m).(-10-m)=1.(16分)

点评 本题主要考查函数解析式的求解,利用函数奇偶性的性质,利用对称性进行转化是解决本题的关键.

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