Question

11．某个停车场有一排共12个车位，从入口开始依次编号是1号停车位、2号停车位、…、12号停车位．早上来了8辆车，随机地停在了其中8个车位．
（1）这时有一辆体型较大的工程车到达停车场，它需要占据两个相邻的车位，求工程车能停进车位的概率；
（2）求没有三辆车相邻的概率；
（3）如果有4辆车离开之后，又有一辆车开进来，停在离入口最近的空车位，记这个车位的编号是η，求η的期望．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件总数n=${C}_{12}^{8}$，工程车能停进车位，要求有两个空车位相邻，求出包含的基本事件个数m₁=${C}_{12}^{8}-{C}_{9}^{4}$，由此能求出工程车能停进车位的概率．
（2）“没有3辆车相邻”的可能性包括：①车车空车车空车车空车车，剩下一个车位可能与空车位相邻也可能在最前面或在最后面，有5种排法；②先排好四个空车位，有${C}_{4}^{4}$种排法，空空空空，四个空位间有五个间隔，从中选两个间隔各放一辆车，有${C}_{5}^{2}$种放法，另外三个间隔各放两辆车，有1种放法，由分步计数原理得有${C}_{4}^{4}{×C}_{5}^{2}×1$=10种排法，由此能求出没有三辆车相邻的概率．
（3）由已知得η的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出η的期望．

解答 解：（1）某个停车场有一排共12个车位，8辆车随机地停在了其中8个车位，
基本事件总数n=${C}_{12}^{8}$，
工程车能停进车位，要求有两个空车位相邻，包含的基本事件个数：
m₁=${C}_{12}^{8}-{C}_{9}^{4}$，
∴工程车能停进车位的概率：p₁=$\frac{{m}_{1}}{n}$=$\frac{{C}_{12}^{8}-{C}_{9}^{4}}{{C}_{12}^{8}}$=$\frac{41}{55}$．
（2）“没有3辆车相邻”的可能性包括：
①车车空车车空车车空车车，剩下一个车位可能与空车位相邻也可能在最前面或在最后面，有5种排法，
②先排好四个空车位，有${C}_{4}^{4}$种排法，空空空空，四个空位间有五个间隔，
从中选两个间隔各放一辆车，有${C}_{5}^{2}$种放法，另外三个间隔各放两辆车，有1种放法，
由分步计数原理得有${C}_{4}^{4}{×C}_{5}^{2}×1$=10种排法，
∴没有三辆车相邻的概率${p}_{2}=\frac{5+10}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{1}{33}$．
（3）由已知得η的可能取值为1，2，3，4，5，
P（η=1）=$\frac{{C}_{11}^{4}}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{2}{3}$，
P（η=2）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{8}{33}$，
P（η=3）=$\frac{{C}_{9}^{2}}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{4}{55}$，
P（η=4）=$\frac{{C}_{8}^{1}}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{8}{495}$，
P（η=5）=$\frac{1}{{C}_{12}^{4}}$=$\frac{1}{495}$．
∴Eη=1×$\frac{2}{3}$+2×$\frac{8}{33}$+3×$\frac{4}{55}$+4×$\frac{8}{495}$+5×$\frac{1}{495}$=$\frac{13}{9}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想、分步计数原理和排列组合知识的合理运用．