Question

15．若函数$f（x）=x（{m+\frac{1}{{{e^x}-1}}}）$为偶函数，则m的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即-x（m+$\frac{1}{{e}^{-x}-1}$）=x（m+$\frac{1}{{e}^{x}-1}$），
即-m-$\frac{1}{{e}^{-x}-1}$）=m+$\frac{1}{{e}^{x}-1}$，
则2m=-$\frac{1}{{e}^{x}-1}$-$\frac{1}{{e}^{-x}-1}$=-$\frac{1}{{e}^{x}-1}$-$\frac{{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$=$\frac{1}{1-{e}^{x}}$-$\frac{{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$=$\frac{1-{e}^{x}}{1-{e}^{x}}$=1，
即m=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．