题目内容
【题目】已知椭圆:
的右焦点为
,离心率为
,
是椭圆
上位于第一象限内的任意一点,
为坐标原点,
关于
的对称点为
,
,圆
:
.
(1)求椭圆和圆
的标准方程;
(2)过点作
与圆
相切于点
,使得点
,点
在
的两侧.求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)椭圆的标准方程为
,圆
的标准方程
;(2)
【解析】
(1)设椭圆左焦点为,连接
,
,易知四边形
为平行四边形,则
,结合离心率为
,可求得
,即可求得椭圆
和圆
的标准方程;
(2)设,代入椭圆方程可得到
的关系式,然后分别求得
的面积的表达式,即可得到四边形
面积的表达式,结合
的关系式,求
面积的最大值即可.
(1)设椭圆左焦点为,连接
,
,
因为,
,所以四边形
为平行四边形,
所以,所以
,
又离心率为,所以
,
.
故所求椭圆的标准方程为
,圆
的标准方程
.
(2)设,则
,故
.
所以,所以
,
所以.
又,
,所以
.
故.
由,得
,即
,
所以,
当且仅当,即
,
时等号成立.
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练习册系列答案
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【题目】已知某种细菌的适宜生长温度为,为了研究该种细菌的繁殖数量
(单位:个)随温度
(单位:
)变化的规律,收集数据如下:
温度 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
繁殖数量 | 20 | 25 | 33 | 27 | 51 | 112 | 194 |
对数据进行初步处理后,得到了一些统计量的值,如下表所示:
18 | 66 | 3.8 | 112 | 4.3 | 1428 | 20.5 |
其中,
.
(1)请绘出关于
的散点图,并根据散点图判断
与
哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量
关于
的回归方程类型(结果精确到0.1);
(2)当温度为时,该种细菌的繁殖数量的预报值为多少?
参考公式:对于一组数据,其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.参考数据:
.