题目内容
【题目】已知函数,且
在
处的切线方程为
.
(1)求的解析式,并讨论其单调性.
(2)若函数,证明:
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)先求出切点的坐标,通过切线方程可以求出切线的斜率,对函数进行求导,
求出切线方程的斜率,这样得到一个等式,最后求出的值,这样就求出
的解析式。求出定义域,讨论导函数的正负性,判断其单调性。
(2)研究的单调性,就要对
进行求导,研究
导函数
的正负性,就要对
进行求导,得到
,研究
的正负性,从而判断出
的单调性,进而判断出
的正负性,最后判断出
的单调性,利用单调性就可以证明结论。
(1)由题切点为代入
得:
①
即
②
解得,
∴,
,
∴,即
为
上的增函数.
(2)由题,即证
,
.
构造函数,
,
,即
为
上的增函数,
又,即
时
,即
在
上单调递减,
时,
,即
在
上单调递增,
∴得证.
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