题目内容
【题目】已知正方体
的棱长为1，P是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）
①若P为棱
中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为
；
②若P在线段
上运动，则
的最小值为
；
③若P在半圆弧CD上运动，当三棱锥
的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为
；
④若过点P的平面
与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
根据异面直线的夹角求解，棱锥外接球的求解，以及正方体截面的性质，对选项进行逐一分析即可.
对于①，如图所示，
由
，可知
即为异面直线AE与CD所成的角．
设正方体的棱长为2，连接BE，则在
中，
，
，故正确
对于②，将三角形
与四边形
沿
展开到同一个平面上，如图所示．
由图可知，线段
的长度即为
的最小值．
在
中，利用余弦定理可得
，故错误.
对于③，如下图所示：
当P为
中点时，三棱锥
体积最大，
此时，三棱锥的外接球球心是AC中点，
半径为
﹐其表面积为
．故正确.
对于④﹐平面
与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，
只需与过同一顶点的三条棱所成的角相等即可，如图所示：
．则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等．
若点E，F，G，H，M，N分别为相应棱的中点，
可得平面EFGHMN平行于平面PQR，且六边形EFGHMN为正六边形．
正方体棱长为1，所以正六边形EFGHMN的边长为，
可得此正六边形的面积为
，为截面最大面积．
故正确的命题有3个．
故选：C.
【题目】某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系，随机调查了本市某中学高三文科班
名学生每周课外阅读时间
（单位：小时）与高三下学期期末考试中语文作文分数
，数据如下表：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 38 | 40 | 43 | 45 | 50 | 54 |
（1）根据上述数据，求出高三学生语文作文分数与该学生每周课外阅读时间的线性回归方程，并预测某学生每周课外阅读时间为
小时时其语文作文成绩；
（2）从这人中任选
人，这人中至少有
人课外阅读时间不低于
小时的概率.
参考公式：
，其中
，
参考数据：
，
，
